Toplardakinumaraların en küçüğü 2, en büyüğü 30 olduğuna göre, 2 30 1. Grup: Asal sayılardan oluşur. 2. Grup: 4 ile aralarında asal sayılardan oluşur. 3. Grup: Çarpanlarından biri 3 olan sayılardan oluşur. 4. Grup: İlk üç grupta olmayan sayılardan oluşur. 1 Gruplardaki top sayısını bulunuz? 2 Bir grupta en çok Pozitif- Negatif Sayılar > 0 a ⇒ a pozitif reel sayı, a < 0 ⇒ a negatif reel sayı • Aynı işaretli iki sayının toplamı bu iki sayının işareti ile aynı işaretlidir. • Ters işaretli iki sayının toplamı, bu iki sayıdan mutlak de-ğeri büyük olan ile aynı işaretlidir. Bunagöre, 84 sayısı ile aralarında 3-asal sayı olan iki basamaklı kaç farklı doğal sayı vardır? A) 10 B) 14 C) 21 D) 26 E) 30. Sıfır Beş Eğitim ve Bilişim Teknolojileri A.Ş. Vişnezade Mah. Süleyman Seba Cad. No:44 İç Kapı No:3 Beşiktaş/İstanbul. ANASAYFALAR. Çarpanlarve Katlar 8.Sınıf Matematik çözümlü test soruları ile konu tekrarı yaparak yazılı sınav öncesi hazırlık yapabilirsiniz. EBOB ve EKOK'larının çarpımı 750 olan iki sayıdan biri 25 ise, diğer sayı kaçtır? A) 30 B) 35 C) Aşağıdaki sayı çiftlerinden hangisi aralarında asaldır? A) (4 , 12) B) (5 , ave b sayıları kendi aralarında asal olduğu bilgisi verilmiş. Aynı zamanda a/b için de 18/30 ifadesi kullanılmış. 18/30 sayısını 6 ile sadeleştirirsek elimizde 3/5 kesri kalır. 3 ve 5 sayıları da kendi aralarında asal olacağından dolayı a cash. Aralarında asal sayı ile ilgili örnekler ve çözümleri konu anlatımı. Asal sayılar pozitiftir. 1’e ve kendisinden başka herhangi bir pozitif sayıya bölünmezler. Örneğin 7 rakamı 5’e ya da 4’e bölünmez. Sadece kendisine ve 1’e tam olarak bölünür. Bu nedenle 7 asal sayıdır. 1’den 100’e kadar asal sayıları yazacak olursak şu şekilde olur 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ve 97′ dir. Aralarında asal sayılar Aralarında asal olan sayılar 1’den başka herhangi bir sayıya bölünmez. Örnek verecek olursa 4 ve 9 ile 7 ve 11 aralarında asal sayılardır. Ama neden hemen açıklayalım Mesela 4’ü 2’ye bölebiliriz ama 9’u 2’ye tam olarak bölemeyiz. 1 neden asıl sayı olmaz? Asal sayı 1 ve kendisine bölünebilen sayıdır. Yani asal sayının 2 tane böleni olan sayı demektir. Dolayısı ile 1 sadedece 1’e bölünür ve kendisi de 1 olduğu için sadece tek böleni vardır. İki böleni olmadığından asal sayı değildir. Asal sayılar ile ilgili örnekler aşağıdaki gibidir Soru 1 Toplanınca 43 bulunan iki asal sayıdan küçüğü büyüğünden çıkarılınca kaç bulunur? Çözüm 1 İki sayının toplamı tek sayı ise bu sayılardan biri tek diğeri çifttir. Çift olan asal sayı 2 olduğuna göre diğer asal sayımız da 43-2=41 olacaktır. Sayılarımızı bulduk şimdi farklarına bakalım, 41-2=39 bizden istenen cevap. Soru 2 a, b ve c asal sayılardır. a+b=c olduğuna göre c’nin alabileceği değerler küçükten büyüğe doğru sıralandığında üçüncü sayı hangisi olur? Çözüm c’nin alabileceği değerleri en küçükten başlayarak sıralayalım 2+3=5 2+5=7 2+11=13 cevabımız. Soru 3 x ile y aralarında asal iken, 3x=5y olduğuna göre x+y kaçtır? Çözüm 3 Verilen eşitlikten x=5 iken y=3 olduğu anlaşılıyor. 5+3=8 Soru 4 a ve b sayma sayıları a²-b²=29 olduğuna göre a kaçtır? Çözüm 4 İki kare farkını kullanarak çarpanlarına ayıralım, a-b.a+b=29 29 asal sayı olduğundan, a-b=1 a+b=29 2a=30 a=15 Soru 5 x+y+1 ve x-y aralarında asal iki tam sayı olmak üzere, x+y+1 x-y = 17 10 olduğuna göre x²-y² farkı kaçtır. Çözüm 5 Oran zaten sadeleşmiş biçimde verildiğinden şu eşitliği yazabiliriz. x+y+1=17, x+y=16 x+y=16 x-y=10 x²-y²=x+y.x-y olduğundan bulunur. Asal sayı ile ilgili örnekler bu şekildeydi. Soru Sor sayfası kullanılarak Asal Sayılar ve Aralarında Asal Sayılar konusu altında Kaç Farklı Aralarında Asal Sayı Vardır? ile ilgili sitemize gönderilen ve cevaplanan soruları içermektedir. Bu soru tipine ait soruları ve yaptığımız detaylı çözümleri aşağıda inceleyebilirsiniz. Yardımcı olması dileğiyle, iyi çalışmalar… Diğer Soru Tipleri için Tıklayınız. Soru Sormak için Tıklayınız. Konu Anlatımı İçin Tıklayınız. Çözümlü Test İçin Tıklayınız. Abone olarak daha fazla sayıda soru sorabilirsiniz. Abone olmak için Tıklayın. Not Bu sayfadaki sorular, ziyaretçilerimiz tarafından gönderilmiştir. Telif hakkını ihlal eden durumlar için lütfen iletişim sayfasından bize bunları bildiriniz. Kısa süre içerisinde sitemizden bu sorular kaldırılacaktır. Not Bu sitede yayınlanan çözümler, tamamen bu site için hazırlanmıştır. İzinsiz olarak yayınlanıp, çoğaltılması yasaktır.   2 2 2 a ve b pozitif tam sayıları aralarında asaldır. 3 .2 .5 eşitliğini sağlayan kaç farklı a,b ikilisi vardır? A 4 B 5 C 6 D 7 E 8  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Çözüm 3 .2 .5 a ve b’nin aralarında asal olabilmesi için; ortak asal çarpanları olmamalıdır. 3 , 2 .5 3 2 , 5 4 farklı durum çıkarabildik. 3 5 , 2 2 3 5 , 1 a,b sıralı ikili         leri sorulduğundan, yukarıdaki durumlar yer değiştirinde 4 farklı ikili daha oluşur.  Toplam 8 farklı a,b ikilisi buluruz. 23.   a ve b aralarında asal sayılardır. olduğuna göre, kaç tane a,b doğal sayı ikilisi vardır? A 2 B 4 C 6 D 8 E 10 3 3 3 3 3 6 3 6 3 6 Çözüm 24000 2 . .5 2 . a ve b’nin aralarında asal olması için; a’daki asal sayı b’de olmamalıdır. Buna göre; a 2 . ise b 1 veya tersi a 1 ise b 2 .          3 6 3 3 6 6 3 6 3 3 6 6 3 a 2 .3 ise b 5 veya tersi a 5 ise b 2 .3 a 2 .5 ise b 3 veya tersi a 3 ise b 2 5 a ise b 2 veya tersi a 2 ise b Toplam 8 farklı a,b ikilisi va              3 rdır. Bu işlemi kısaca yapmak gerekirse; Elimizde 3 farklı asal sayı var dı. Bu 3 eleman ile kaç tane alt küme oluşturabiliriz ile cevabı aynı idi. 2 8   24. Asal sayılar, matematiğin hiçbir konusunda olmayan mükemmelliği içerisinde bulundurur. Asal sayı, sadece kendisine ve 1’e bölünebilen, ayrıca 1’den büyük doğal sayılar olarak tanımlanır. Çift asal sayılar arasında ise 2 sayısından başka çift asal sayı bulunmamaktadır. Geçmiş tarihlerde 1 sayısı da asal sayı olarak kabul edilse de sonradan asal sayı listesinden çıkarılmıştır. Asal Sayı Nedir Nasıl Bulunur? Asal sayıların sonsuz tane olduğu Öklid döneminden beri kabul edilmiştir. Bu sebepten dolayı tüm asal sayıların bulunması mümkün değildir. Örneğin ilk 10 asal sayı; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 şeklinde sıralanır. 1'den 100'e kadar olan asal sayıların bulunma yöntemi ise; 10*10 bir tablo oluşturun. Oluşturduğunuz tabloya sayıları yerleştirin. Tablo’da 2 sayısının tüm katlarına çarpı atın. Sonra 3 sayısının katlarına çarpı atın. Sonra diğer sayıların katlarına çarpı atın. En küçük asal sayı 2 olduğu için 1 sayısına da çarpı atın. Geriye kalanlar ise Asal Sayı” olarak karşınıza çıkacaktır. Asal Sayılar Tablosu Sizler için oluşturduğumuz asal sayısı tablosunu aşağıda bulabilirsiniz. 1 den 100 e Kadar Asal Sayılar Hangileridir? Asal sayı, sadece iki tane pozitif böleni olan sayılardır. En küçük asal sayı ise 2’dir. 1’den 100’e kadar ise 25 tane asal sayı bulunmaktadır. 1’den 100’e kadar olan asal sayıların listesi ise, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ve 97'dir. Bu durumda iki basamaklı en küçük asal sayı 11, iki basamaklı en büyük asal sayı ise 97’dir. 30'a Kadar Asal Sayılar 1'den 30'a kadar olan asal sayılar; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29'dur. En Büyük Asal Sayı Yapılan çalışmalar ile keşfedilen en büyük asal sayının 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1 olarak hesaplanmıştır. Bulunan en büyük asal sayı, basamaklı olup 9000 sayfalık bir deftere ancak sığdırılabilir. Asal Sayılar Örnekler Sizler için hazırladığımız asal sayılar soru çözümlerini inceleyerek karşılaştığınız soru ve problemleri kolaylıkla çözebilirsiniz. Öğrencilerin en çok karşılaştığı soru çeşitlerinden bu tip sorular aklınıza takılanlara cevap verecektir. Yukarıdaki örnekte asal sayılarda öğrencilerin en çok karşılaştığı soru tarzı ele alınmıştır. Dikkatli inceleyerek sorunun nasıl çözüldüğü hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz. Aralarında Asal Sayılar hakkında çözülen yukarıdaki soru ise oldukça popüler bir soru çeşididir. Çözümü inceleyerek farklı örnekler çözmeye başlayabilirsiniz. Asal sayılar hakkında farklı soru çeşitlerini görmek, pratik yapmak ve bilgilerini pekiştirmek için aşağıda bulunan mükemmel videoyu izlemelisin. Aralarında Asal Sayılar İki tam sayının 1’den başka ortak böleni yoksa, bunlar aralarında asal sayılardır. Örneğin, 4 ve 15 sayıları aralarında asal sayılardır. Her iki sayının ortak böleni sadece 1’dir. Ayrıca aralarında asal sayıların EKOK’u çarpımlarına eşittir. Ardışık iki tam sayı aralarında asal sayılardır. Ya da bu tam sayılardan biri sıfıra eşittir. Aralarında asal sayıların toplamı ise sanılanın aksine asal sayı değildir. Sende hemen Öğretmen Tercihim’de bulunan binlerce matematik öğretmeninden özel ders al . Aklına takılanları dilediğin öğretmene mesaj yoluyla sor. Başarıya emin adımlarla ulaş. a ve b aralarında asal iki sayıdır. a / b = 18 / 30 olduğuna göre a b değerini bulunuz detaylar haberimizde...Soru a ve b aralarında asal iki sayıdır. a / b = 18 / 30 olduğuna göre a b değerini bulunuzCevap a ve b kendi aralarında asal ise a = 3 ve b = 5 olarak bulunur. 3 x 5 ifadesi de 15 sayısının bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 12 olarak sayısının bölenleri 1, 2, 3, 6, 9, 18 olarak üzere 2, 3 ve 6 sayıları da ortak bölendir. Bu nedenle 12 ve 18 sayıları kendi aralarında asal 18 l 26 9 l 23 9 l 31 3 l 112 ve 3 sayıları ortak bölen olduğundan dolayı ve 2 x 3 = 6 olduğundan dolayı bu 12 ve 18 sayıları kendi aralarında asal ve b sayıları kendi aralarında asal olduğu bilgisi verilmiş. Aynı zamanda a/b için de 18/30 ifadesi soruyu iki farklı yoldan çözebiliriz. Birinci yolda bu kesri sadeleştiririz. İkinci yolda ise bu sayıları çarpanlarına ayırırız ve daha sonra ortak olan çarpanları çarpan ağacından sayısını 6 ile sadeleştirirsek elimizde 3/5 kesri kalır. 3 ve 5 sayıları da kendi aralarında asal olacağından dolayı a sayısı 3, b sayısı da 5 olarak 30 l 29 15 l 33 5 l 31 5 l 512 ve 3 sayıları ortak bölenler olduğundan dolayı ve 2 x 3 = 6 olacağından dolayı 6 ile sadeleştirmemiz gerekir. Bu sadeleştirme sonucunda da 3/5 kesri elimizde kalır. 9. sınıf matematik dersi konu anlatımı, 10. sınıf matematik dersi asal sayılar ders notları, asal sayılar 8. sınıf ders konuları, asal sayılar lise matematik ders notları Asal sayılar, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1' den büyük tamsayılardır. En küçük asal sayı, 2' dir. 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur. Yani, 2 sayısı dışındaki tüm asal sayılar tek sayıdır. Asal sayılar kümesi, { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ... } dir. Fermat Teoremi' ne göre, n asal sayı olmak üzere, 2n - 1 şeklinde yazılabilen sayılar asal sayıdır. Örneğin, 22 - 1, 23 - 1, 25 - 1, 27 - 1, 211 - 1, ... sayıları, asal sayıdır. Aralarında asal sayılar 1' den başka pozitif ortak böleni olmayan sayılara, aralarında asal sayılar adı verilir. Birden fazla sayının aralarında asal olması için, bu sayıların asal sayı olması gerekmez. Asal sayılar, kesinlikle aralarında asal sayılardır. Bununla birlikte, 10 ve 81 sayısı birer asal sayı olmamasına rağmen, aralarında asal sayılardır. Diğer taraftan, 10 ile 8 sayısı birer asal sayı olmamasına rağmen, 2 ortak bölenleri olduğu için, aralarında asal sayılar değildir. Bir sayı aralarında asal iki sayıya bölünebiliyorsa, bu iki sayının çarpımına da bölünür. Örneğin, • 2, 9 • 10, 81 • 5, 29 • 3, 8 • 2, 10, 35 sayı grupları, ortak tam bölenleri olmadığı için aralarında asal sayılardır. Asal olmayan sayılara da bileşik sayı adı verilir. Dolayısıyla, bileşik sayıların 1 ve kendisinden başka bölenleri vardır. Örneğin, 10 sayısı bir bileşik sayıdır. Çünkü, 10 sayısının 1 ve kendisinden başka, 2 ile 5 böleni vardır. Buradan, asal olmayan 10 sayısı, birer asal sayı olan 2 sayısı ile 5 sayısının çarpımı olarak yazılabilir. 2 ile 5 sayısına, 10 sayısının asal çarpanı veya böleni denir. Yani, bileşik bir sayı, asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir. Örnek Aşağıdaki sayı gruplarından hangisi aralarında asaldır? a 4, 20 b 6, 21 c 27, 36, 39 d 8, 24, 36 e 3, 5, 25 Çözüm a 4 ile 20' nin ortak böleni vardır ve bu da 2 ile 4' tür. b 6 ile 21' in ortak böleni vardır ve bu da 3' tür. c 27, 36 ve 39' un ortak böleni vardır ve ortak bölen 3' tür. d 8, 24 ve 36' nın ortak böleni vardır ve ortak bölen 2 ve 4' tür. e 3, 5 ve 25' in ortak böleni yoktur. Çünkü, bu üç sayıyı birden bölen 1' den başka sayı yoktur. Dolayısıyla, bu sayılar aralarında asaldır. Örnek a, b ve c birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, ab ile bc iki basamaklı aralarında asal sayılardır. Buna göre, ab + bc toplamının en küçük değeri kaçtır? Çözüm Toplamın en küçük olması için, sayıları en küçük almalıyız. Buna göre, ab = 21 olurken. bc = 13 olmalıdır. Dolayısıyla, ab + bc = 21 + 13 = 34 olur. SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI Her bileşik sayı, asal sayıların veya asal sayıların kuvvetlerinin çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu işlemi yapmak için, ilgili sayının sırasıyla en küçük asal sayıdan başlanarak bölünebilmesi araştırılır. BİR SAYMA SAYISININ TAMSAYI BÖLENLERİ Bir sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin sayısı Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a, b ve c olmak üzere, A = am . bn . cp şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise, A sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin sayısı, m + 1 . n + 1 . p + 1 dir. Bu sayıya, 1 ile sayının kendisi dahil edilmiştir. Bir sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin sayısı Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a, b ve c olmak üzere, A = am . bn . cp şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise, A sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin sayısı, 2 . m + 1 . n + 1 . p + 1 dir. Yani, A sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin sayısı, pozitif bölenlerinin sayısının 2 katıdır. Bu sayıya, 1 ile sayının kendisi dahil edilmiştir. Bir sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin toplamı Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a, b ve c olmak üzere, A = am . bn . cp Bu toplama, 1 ile sayının kendisi dahil edilmiştir. Bir sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin toplamı ise, sıfırdır. Bir sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin çarpımı Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a, b ve c olmak üzere, A = am . bn . cp şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise, A sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin çarpımı,üssün A’nın pozitif tamsayı bölenlerinin yarısı kadardır. Örnek 120 sayısının a Kaç tane pozitif böleni vardır? b Kaç tane tamsayı böleni vardır? c Pozitif bölenlerinin toplamı kaçtır? d Pozitif bölenlerinin çarpımı kaçtır? Çözüm a 120 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli 120 = 23 . 31. 51 olduğundan, pozitif bölenlerinin sayısı 3 + 1 . 1 + 1 . 1 + 1 = 4 . 2 . 2 = 16 dır. b 120 sayısının tüm bölenlerinin sayısı, pozitif bölenlerinin sayısının 2 katı olduğuna göre, 2 . 16 = 32 dir. c 120 sayısının pozitif bölenlerinin toplamı 360 olur. d 120 sayısının pozitif bölenlerinin çarpımı 8 dir. 120 Örnek 500 . 5y sayısının asal olmayan 40 tane tamsayı böleni varsa, y kaçtır? Çözüm 500 . 5y = 22 . 53 . 5y = 22 . 53 + y 2 tane asal böleni olduğundan, tüm bölenlerinin sayısı, 40 + 2 = 42 dir. Buradan, pozitif bölenlerinin sayısı, tüm bölenlerinin sayısının yarısı olduğundan, 21 = 2 + 1 . 3 + x + 1 21 = 3 . 4 + x 21 = 12 + 3x 3x = 21 - 12 3x = 9 x = 3 olur. OBEB ORTAK BÖLENLERİN EN BÜYÜĞÜ OBEB, iki veya daha çok sayıyı aynı anda bölebilen en büyük sayıdır. Verilen sayıların OBEB' ini bulmak için, sayılar asal çarpanlarına ayrılır ve ortak asal çarpanların en küçük üsleri alınır. 1. Aralarında asal iki sayının OBEB' i 1' dir. Yani, a ile b aralarında asal iki sayı ise, a, bOBEB = 1 dir. 2. Aynı zamanda, ikiden çok sayıdaki sayılardan en az iki tanesi aralarında asal ise, bu sayıların OBEB' i 1' dir. Yani, a, b, c, d, e sayılarından a ile b aralarında asal ise, a, b, c, d, eOBEB = 1 dir. 3. İki veya daha fazla sayının ortak tam bölenlerinin sayısı, OBEB' inin bölenlerinin sayısına eşittir. 4. Ardışık iki sayma sayısının OBEB' i 1' dir. Yani, a ile b ardışık iki sayma sayısı olmak üzere, a , bOKEK = 1 dir. Örnek 18, 30, 42 sayılarının OBEB' i kaçtır? Çözüm 18 = 30 = 42 = Her üç sayının ortak asal çarpanlarının en küçük üslüsü alınmalıdır. Dolayısıyla, 18, 30, 42OBEB = = 6 dır. Örnek 100 ile 120 sayılarının OBEB' i kaçtır? Çözüm 100 = 120 = Her iki sayının ortak asal çarpanlarının en küçük üslüsü alınmalıdır. Dolayısıyla, 100, 120OBEB = = 20 dir. Örnek 6, 15 ve 29 sayılarının OBEB' i kaçtır? Çözüm İkiden çok sayıdaki sayıların en az iki tanesi aralarında asal ise, bu sayıların OBEB' i 1 olduğundan, verilen sayılardan 6 ile 29 sayısı veya 15 ile 29 sayısı aralarında asal olduğu için 6, 15, 29OBEB = 1 dir. Örnek 100 ile 120 sayılarının ortak tam bölenlerinin sayısı kaçtır? Çözüm 100, 120OBEB = = 20 olduğundan, pozitif bölenlerinin sayısı, 2 + 1 . 1 + 1 = 3 . 2 = 6 bulunur. Buradan, tüm bölenlerin sayısı, pozitif bölenlerin sayısının iki katına eşit olduğundan, 2 . 6 = 12 olur. Örnek Boyutları 9 cm, 12 cm, 15 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki kutunun içerisi, boş yer kalmayacak şekilde en büyük boyutlu küplerle doldurulmak istenmektedir. Bu kutuya kaç tane küp yerleştirilebilir? Çözüm Kutu en büyük boyutlu küplerle doldurulmak istendiğinden, 9 cm, 12 cm, 15 cm sayılarının OBEB' i bulunmalıdır. Bu nedenle, 9, 12, 15OBEB = 3 tür. Böylece, en büyük boyutlu küpün bir kenarı = 3 cm olur. Bir kenarı 3 cm olacak şekilde yerleştirilebilecek küp sayısı, Küp sayısı = Kutunun hacmi / Küpün hacmi = = = 60 tane olur. Örnek Boyutları 24 m ve 60 m olan dikdörtgen şeklindeki bir arsanın çevresine eşit aralıklarla en az sayıda kaç ağaç dikilebilir? Çözüm İki ağacın arasındaki uzaklık, dikdörtgenin boyutlarının OBEB' i olur. Dolayısıyla, 24, 60OBEB = 12 Ağaç Sayısı = Çevre / 12 = 2 . 24 + 60 / 12 = 84 / 6 = 14 dir. OKEK ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ İki veya daha çok sayının her birine bölünen en küçük sayıdır. Verilen iki veya daha çok sayının OKEK' ini bulmak için, sayılar asal çarpanlarının kuvvetleri cinsinden yazılır ve ortak asal çarpanlarından üsleri en büyük olanlarla ortak olmayan asal çarpanlarının tümü alınarak çarpılır. 1. Aralarında asal sayıların OKEK' i, bu sayıların çarpımlarına eşittir. Yani, a ile b sayısı aralarında asal sayılar ise, a, bOKEK = a . b dir. 2. a ve b iki doğal sayı olmak üzere, bu iki doğal sayının OBEB' i ile OKEK' inin çarpımı, bu iki doğal sayının çarpımına eşittir. Yani, a ve b doğal sayısı için a . b = a, bOKEK . a, bOBEB dir. 3. a, b, c, d sayma sayıları olmak üzere, a/c,b/dOKEK = a, bOKEK / c, dOBEB dir. 4. a ve b iki doğal sayı olmak üzere, a, bOKEK = x ve a, bOBEB = y ise, a ile b sayılarının toplamının en büyük değeri x + y dir. 5. Ardışık iki sayma sayısının OKEK' i bu iki sayının çarpımına eşittir. Yani, a ile b ardışık iki sayma sayısı olmak üzere, a, bOKEK = a . b dir. 6. a ile b sayma sayıları olmak üzere, a < b ise, a, bOBEB <= a <= b <= a, bOKEK dir. Örnek 18 ile 45 sayılarının OKEK' ini bulunuz. Çözüm 18 = 2 . 32 45 = 32 . 5 olduğundan, 18, 45OKEK = 32 . 2 . 5 = 90 olur. Örnek a ve b doğal sayılarının OKEK' i 48 ve OBEB' i 8 ve bu sayılardan biri 16 ise, diğer sayı kaçtır? Çözüm a = 16 olsun. 16, bOKEK = 48 ve 16, bOBEB = 8 olduğuna göre, a . b = a, bOKEK . a, bOBEB 16 . b = 48 . 8 b = 24 bulunur. Örnek Herhangi iki doğal sayının OKEK' i 120 ve OBEB' i 8 olduğuna göre, bu sayıların toplamı en çok kaç olabilir? Çözüm İki doğal sayının toplamı en çok bu iki sayının OBEB' ile OKEK' inin toplamı kadar olabileceğinden, 120 + 8 = 128 dir. Örnek Boyutları 2 cm, 4 cm, 6 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki kutunun içerisi, boş yer kalmayacak şekilde en küçük boyutlu küplerle doldurulmak istenmektedir. Bu kutuya kaç tane küp yerleştirilebilir? Çözüm Kutu en küçük boyutlu küplerle doldurulmak istendiğinden, 2 cm, 4 cm, 6 cm sayılarının OKEK' i bulunmalıdır. Bu nedenle, 2, 4, 6OKEK = 12 tür. Böylece, en küçük boyutlu küpün bir kenarı = 12 cm olur. Bir kenarı 12 cm olacak şekilde yerleştirilebilecek küp sayısı, Küp sayısı = Kutunun hacmi / Küpün hacmi = = = 36 tane olur. Örnek a, b, c asal sayılar olmak üzere, x = a2 . b3 . c5 ve y = a5 . c2 ise, x, yOBEB = ? ve x, yOKEK = ? bulunuz. Çözüm x, yOBEB = a2 . c2 = a . c2 x, yOKEK = a5 . b3 . c5 olur. Örnek Ayşe toplarını 2' şer 2' şer, 4' er 4' er, 6' şar 6' şar sayarsa, her defasında 1 top artıyor. Ayşe' nin en az kaç topu vardır? Çözüm Top sayısı = 2, 4, 6OKEK + 1 = 12 + 1 = 13 tür. Örnek 2, 3, 4 sayılarına bölündüğünde 1 kalanını veren en büyük 2 basamaklı doğal sayı kaçtır? Çözüm [2, 3, 4OKEK] . k + 1 <= 99 24 . k + 1 <= 99 k = 4 olur. Buradan, sayı 24 . 4 + 1 = 96 + 1 = 97 bulunur. Örnek İki yangın sireni 5/7, 7/8 saat aralıklarla alarm vermektedirler. Bu iki yangın sireni aynı anda en son Cuma günü sabah de alarm verdiklerine göre, hangi gün saat kaçta tekrar birlikte alarm verirler? Çözüm Yangın sirenleri 5/7, 7/8 sayılarının OKEK' lerinde aynı anda alarm verirler. Dolayısıyla, 5/7, 7/8OKEK = 5, 7OKEK / 7, 8OBEB = 35 / 1 = 35 saat sonra tekrar alarm verirler. O halde, Cumartesi günü saat de tekrar alarm vereceklerdir. Örnek Bir a doğal sayısı 5/3, 6 sayılarına bölündüğünde sonuç tamsayı olduğuna göre, bu koşula uyan en küçük a sayısı kaçtır? Çözüm 5/3 ile 6' nın OKEK' ini bulmalıyız. Bu takdirde, 5/3, 6OKEK = 5, 6OKEK / 3, 1OBEB = 30 / 1 = 30 olur. Örnek OKEK' i 7 olan a ve b doğal sayılarının toplamlarının en küçük ve en büyük değerlerinin çarpımı kaç olur? Çözüm a, bOKEK = 7 ve sayıların farklı olmadıkları söylenmediğine göre, a = 7 ve b = 7 alınabilir. Bu durumda, a ile b' nin toplamının en büyük değeri a + b = 7 + 7 = 14 ... 1 olur. Diğer taraftan, a = 1 ve b = 7 alınırsa, a ile b' nin toplamının en küçük değeri a + b = 1 +7 = 8 ... 2 olur. Buradan, 1 ile 2 nin çarpımı 14 . 8 = 112 bulunur Benzer Yazılar

30 ile aralarında asal olan sayılar